5.1.2 Metodo de Runge - Kutta

El objetivo de los métodos numéricos de runge-kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud más alto que este.


Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación 25.1:


220


Donde  163es conocida como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo. La función incremento se escribe por lo general como:


221


Donde las a son constantes y las k son:


222


223

Observe que las  son relaciones de recurrencia. Esto es,  aparece en la ecuación para , la cual aparece en la ecuación para , etc. Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos  sean eficientes para cálculos en computadora.

Es posible concebir varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n. Observe que el método

Rungue-Kutta (RK) de primer orden con  es, de hecho, el método de Euler.

Una vez que se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la ecuación 25.28 a los términos en la serie de expansión de Taylor. Así, al menos para las versiones de orden inferior, el número de términos n con frecuencia representa el orden de la aproximación. Por ejemplo, los métodos RK de segundo orden usan la función incremento con dos términos

 Esos métodos de segundo orden serán exactos si la solución de la ecuación diferencial es cuadrática. Además, como los términos con h^3 y mayores son eliminados durante la derivación, el error de truncamiento local es y el global es . En secciones subsecuentes desarrollaremos métodos RK de tercer y cuarto orden  Para esos casos, los errores de truncamiento global son y , respectivamente.


Métodos Runge-Kutta de segundo orden.

La versión de segundo orden de la ecuación anterior es:


Donde:


Al usar la ecuación debemos determinar los  valores para las constantes a1, a2, p1 y p11. Para ello, recordamos que la serie de Taylor de segundo orden para  en términos de  y  esta escrita como:


ecu. 1

Donde  debe determinarse por diferentencias usando las reglas de la cadena

ecu. 2

Si sustituimos la ecuación ecu. 2 en la ecuación ecu. 1 se tiene


La estrategia básica que habrá de resaltarse en los métodos Runge- Kutta es el uso de manipulaciones algebraicas para resolver los valores de ,  lo cual provoca que las ecuaciones  y la anterior sean equivalentes.

Para ello, primero usamos  una serie de Taylor para expandir la ecuación . La serie de Taylor para una función de dos variables se define como:


Si se aplica este método para expandir la ecuación   tiene


Este resultado podrá sustituirse junto con la ecuación  y  para dar


O, al agrupar términos,


Ahora si comparamos términos comunes en las ecuaciones anteriores determinamos que para hacer equivalentes a las dos ecuaciones, se debe cumplir lo siguiente:

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Las anteriores tres ecuaciones simultaneas contienen las cuatro constantes desconocidas.

Como hay una incógnitas más que el numero de ecuaciones, no existe un conjunto único de constantes que satisfagan las ecuaciones. Sin embargo, al suponer un valor para una de las constantes, podemos determinar las otras tres. En consecuencia, existe una familia de métodos de segundo orden más que una sola versión.


Como tenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas, debemos suponer el valor de una de estas incógnitas para determinar las otras tres. Suponga que especificamos un valor para a2. Entonces se puede resolver de manera simultánea las ecuaciones 25.31 a 25.33 para obtener:



Debido a que podemos elegir un número finito de valores para a2, hay un número interminable de métodos RK de segundo orden.

Cada versión podría dar exactamente los mismos resultados si la solución de la EDO fuera cuadrática, lineal o una constante. Sin embargo, se obtienen diferentes resultados cuando la solución es más complicada. A continuación presentamos tres de las versiones más comúnmente y usadas y preferidas:


Método de Heun con solo corrector (a2 = ½). Si suponemos que a2 es 1/2 , las ecuaciones (25.34) y (25.35) podrían resolverse para a1 = ½ y p1 = qI 1= 1. Estos parámetros, al ser sustituidos en la ecuación (25.30), dan

Donde

Observe que k1 es la pendiente al inicio del intervalo y k2 es la del final. En consecuencia, este método Runge-Kutta de segundo orden es de hecho la técnica de Heun sin iteración.

El método de punto medio (a2 = 1). Si suponemos que a2 es 1, entonces

, y la ecuación es ahora

Donde



Este es el método del punto medio.
Método Ralston (). Ralston y Rabinowitz determinaron que al seleccionar  se obtiene un límite mínimo sobre el error de truncamiento para los algoritmos de RK de segundo orden. Para esta versión,

Donde

Ejemplo

Comparación de varios esquemas RK de segundo orden.
Enunciado: Use el método de punto medio y el método de Ralston para integrar numéricamente la ecuación:



Desde  hasta  usando un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en  Compare los resultados con los valores obtenidos con otro algoritmo RK de segundo orden: el método de Heun sin corrector de iteración.


Solución: El primer paso en el método de punto medio es el uso de la ecuación para calcular:


Sin embargo, como la EDO es una función solo de x, tal resultado carece de relevancia sobre el segundo paso para calcular:



Observe que tal estimación de la pendiente es mucho más cercana al valor promedio para el intervalo (4.4375) que la pendiente al inicio del intervalo (8.5) que podría haber sido usada por el procedimiento de Euler. La pendiente en el punto medio puede entonces sustituirse en la ecuación 25.37 para predecir.


El cálculo se repite, y los resultados se resumen en la figura 25.14 y la tabla 25.3.


Por medio del método de Ralston, k1 para el primer intervalo es también igual a 8.5 y:


La pendiente promedio se calcula por

La cual se usara para predecir


Observe que todos los metodos RK se segundo orden son superiores al metodo de Euler